文：岳峻董永奇对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景.01对数平均引入与证明先说重点:本文中涉及的对数平均不等式在考试中解答题不能直接用，需要给出证明过程关于对数平均不等式的证明可以参考之前的文章《极值点偏移（五）——对数平均不等式》这里介绍一种几何证明。02借助于对数平均数的不等关系巧妙放缩对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．又会得出怎样的结论呢？请看下例.03多变量问题蕴含的对数平均数的不等关系高考数学时常出现多变量的综合问题，且多出现在压轴题的位置，由于含有多个变量，使题目显得繁杂混乱，此类问题对学生的阅读能力、转化与划归的思维灵活性要求较高，许多学生面对此类问题往往一筹莫展，难以找到解决问题的突破口．如何从繁乱中理出头绪并顺利解决问题呢？关于双变量也可参考这篇文章《导数压轴题中双变量的那些事儿》破解此类问题，需运用转化与化归的思想，通过构造两个变量的比值（或差值）的函数，使之减少变量的个数，化归为我们所熟悉的一元函数，最后利用导数证明不等式．评注以此为背景的两个变量的不等式的证明问题，其解题策略：先将待证不等式逆推分析，进行等价转化，使得其中的两个变量的特征显现出来，然后利用换元法将两个变量的比值（或差值）作为新的一元变量．这种解题策略是转化与化归、消元与换元、构造与求导等基本数学思想方法的有机整合，因此此类问题是高考考查的重点．对数平均数不等式链的证明方法与本例的证明方法是一样的．04利用对数平均数命题的变式探究为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的变式探究1：变式探究2：变式探究3：变式探究4：变式探究5：变式探究6：变式探究7：变式探究8：变式探究9：变式探究10：变式探究11：变式探究12：