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有理数和实数从有理数到实数和数的连续体

长河网 • 2019-01-28 22:53:13 • 文化 • 阅读 11
本文来自微信公众号“高数变简单”的作者，最新版原文请看https://www.cnblogs.com/iMath/p/8257142.html 本文来自微信公众号“高数变简单”的作者，最新版原文请看https://www.cnblogs
原标题：从有理数到实数和数的连续体本文来自微信公众号“高数变简单”的作者，最新版原文请看https://www.cnblogs.com/iMath/p/8257142.html本文来自微信公众号“高数变简单”的作者，最新版原文请看https://www.cnblogs.com/iMath/p/8257142.html本文主要是想通过简单易懂且兼顾严谨性的方式来介绍如何从有理数过渡到实数。文章稍长，但看完后你至少会明白如下几个关键问题：无理数或实数的定义；实数集为什么是连续的、实数集里的数为什么可以和数轴上的点一一对应；无理数的独特性质；无理数为什么也满足有理数的运算法则和运算性质（如乘法结合律、分配律等）；另外，本文引证了一些英文叙述，看不懂并无大碍，理解我的中文叙述才是重点。第一部分从有理数集到连续的实数集首先我们来看如何把所有的有理数表示在一条直线上。当在一条水平直线上选定代表0和1的点之后（0在1的左边），把0和1间的距离叫作单位长度，在1的右边每隔一个单位长度就取一个点，一直无止境地进行下去，把这些新标示出来的点从左到右依次用来代表2，3，4......这些正整数，在0的左边每隔一个单位长度就取一个点，一直无止境地进行下去，把这些新标示出来的点从右到左依次用来代表-1，-2，-3，......这些负整数，这样我们就在这条直线上找到了代表每个整数（分母为1的有理数）的点，可以通过尺规作图来完成这种构造。每个有理数都可以p/q这种形式唯一表示，这里p是正整数，并且p和q没有比1大的公因子，为了在这条直线上标出代表分母q大于1的有理数的点，我们只需把每个单位长度的区间进行q等分（尺规作图可以做到这一点），那么每一个分点就都代表一个分母为q的有理数。显然每个有理数都可以用这种方法在这条直线上找到代表它的那个点，可称这些点为\"有理点\"，但是一个很重要的事实是——并非这条直线上的所有点都是有理点，比如直角边为单位长度的等腰直角三角形，如果用圆规以其斜边长为半径，代表0的点为圆心画圆的话，那么圆弧与这条直线的交点就不会与任何有理点重合1。证明：设其斜边长度为l，那么根据勾股定理有，如果那个交点是有理点，那么l就应该是一个有理数，则l可以用p/q这种形式唯一表示，即l=q，按规定p和q没有比1大的公因子，把l换成p/q后有(p/q)^2=2，接下来我们将导出与此相悖的结论出来。稍作变换得到，那么p^2就是偶数了，显然p也必须是偶数，便有，p0是整数，把前面等式的p换作后有，即，这说明q^2是偶数，显然q也必须是偶数，这就证明了p和q有公因子2，这与前面的\"p和q没有比1大的公因子\"这个规定矛盾，而造成这种矛盾的起因就是我们一开始假设那个交点是有理点，所以数轴上的点并非都有有理数与之对应，可称没有有理数与之对应的点为\"无理点\"，很容易能在数轴上构造出无数多个无理点出来。显然，如果我们需要用数来表示所有线段的长度的话，那么我们必须接受下面这条事实：水平直线上的每个无理点都应该要有唯一的非有理数与之对应，可称这个数为\"无理数\"，并且如果一个无理点在另外一点的右边（或左边），那么与这个无理点对应的无理数大于（或小于）与那个别的点对应的数。可把有理数和无理数统称为实数，把这条每个点都对应唯一一个实数的直线称为数轴，这样实数就和数轴上的点一一对应了。另外需要注意的是并非每个无理数都可以用尺规作图这种方式找出其在这条直线上所对应的点2。直线是连续的，其连续性表现出了这样的性质3：如果把一条水平直线上的所有点分成左右两个部分，左边这部分的每一点都在右边这部分的每一点的左边，那么有且仅有一个点能造成这种分割，这个点本身可以归为左边这部分的最后一点或右边这部分的起点。这条性质是由德国数学家戴德金（RichardDedekind）提出的，他认为这条性质是一个明显的事实，无需也无法被证明，它能够刻画直线的连续性，它是直线之所以连续的本质表现，应将其看作一条公理4，可称其为直线连续性公理（linecontinuityaxiom）。需要说明的一点是这条公理默认运用了\"直线上两个不同点间存在无数多个不同点\"这条性质，因为如果至少有两个不同点可以把直线分成同样的左边和右边两部分，那么这两个点间的那无数多个点既不属于左边的部分也不属于右边的部分，基于此，公理中才说\"有且仅有一个点能造成这种分割\"。因为实数集里的实数可以铺满直线并且和直线上的点一一对应，直线具有连续性，那么这个实数集也应该具备相应的连续性。Dedekind从直线连续性公理得到启示，认为实数集的连续性应该表现出这样的性质：如果把实数集内的所有数分成两部分A1和A2，以至于A1内的每个数都小于A2内的每个数，那么有且仅有一个数能产生这个分割，这个数本身可以归为A1这部分的最大数或A2这部分的最小数5。实数集是连续的，所以也称实数集是数的连续体，英文numbercontinuum6，亦译作\"数的连续统\"。上面这条性质可称为数的连续体公理（numbercontinuumaxiom），因为这条性质是受直线连续性公理启示而提出来的，所以也应将它看成是一个给定的事实，无需证明。至此，你也许会高呼：\"好了！我们终于有数的连续体了！\"但是，我们还是必须得摸清楚这个连续体内的情况、搞清楚它具备的其它性质才行，不然空有一个概念而不懂其性质，那么我们也就无法运用数的连续体，最终也只不过是让这个概念形同虚设，无所用场。有需要的读者请先去了解实数集的这些概念以便继续阅读：上界、最小上界（亦作\"上确界\"，英文theleastupperbound）、下界、最大下界（亦作\"下确界\"，英文thegreaterlowerbound）。要学习的首条性质很重要，它使得实数集区别于有理数集------非空有上界的实数集在实数集内有最小上界（上确界）7，称为实数集的最小上界性质（LeastupperboundpropertyofR）。证明：设A是RR的非空真子集且有上界，那么比A内每个数都大的实数组成的集合C，余下的实数组成的集合B内的每个数都小于C内的每个数，根据数的连续体公理可知有且仅有一个实数c能把实数集分成B和C两部分，c是B的最小上界。另外因为集合B内的每个数都不比A内每个数都大，所以A的上界就是B的上界，又因为A⊂B，所以B的上界就是A的上界，综上可知集合A和集合B有共同的最小上界c，所以有上界的集合A在实数集内有最小上界。反过来看，如果非空有上界的实数集A在实数集内有最小上界c的话，那么不大于c的数组成的集合B包含集合A，大于c的数组成集合C，这样实数集就被分成了集合B和C，B里的数都小于C里的数，显然c就是唯一产生这个分割的数。可见，数的连续体公理和实数集最小上界性质可互相导出彼此，也就是它们是等价的，当然，如果我们以实数集最小上界性质作为公理的话，那么\"数的连续体公理\"可以由其推得，就应该把它改名作\"数的连续体定理\"了，因为我们要求公理是不需要证明的。忽略称谓上区别的问题，我们应该记住的是这两条性质是等价的，很多书上都以实数集最小上界性质作为刻画实数集连续的根本性质，其也被称为完整性（或完备性）公理（或定理）（completenessaxiom或completenesstheorem），同样，至于叫它公理还是定理取决于是否将这条性质看作是给定的事实。非空有上界的有理数集在有理数集内就未必有最小上界，此处举例说明。因为没有平方等于2的有理数，所以可把有理数分成所有负有理数和平方小于2的非负有理数组成的集合A1={x∈Q|x^20}，如果我们在有理数集内讨论A1的最小上界的话，那么因为此前文章我们已经证明过中无最大数，所以这个最小上界只可能在A2内，如果在A2内有A1的最小上界c的话，那么根据已经证明过的A2中无最小数可知A2内有比c更小的有理数b，b仍然大于A1内的所有数，所以A1在A2内无最小上界，总之A1在有理数集内都没有最小上界，由此可见有上界的有理数集在有理数集内不一定有最小上界，所以说实数集的最小上界性质使得实数集区别于有理数集，而造成这种状况的根本原因还是实数集是连续的而有理数集却不然。根据实数集的最小上界性质我们可以证明实数集的阿基米德性质（ArchimedeanPropertyforRealNumbers）：如果x和y都是任意正实数，那么存在正整数n使得nx>y.可用反证法来证明：假设nx>y对于任何正整数n都不成立，那么也就是说集合A={nx|n∈N}有上界y。根据实数集的最小上界性质可知A有最小上界z，因为x是正数，所以z-x就不是A的上界，那么也就存在正整数m使得mx>z-x，该式变形可得（m+1）x>z，也就是A中的元素（m+1）x大于A的最小上界，这是不可能的，所以原结论得证8。根据实数集的阿基米德性质可得到如下两条性质：1）对于任意正实数x，总存在正整数n使得1/n

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