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西游之穿越诸天原来金庸的武侠世界有这么多数学故事|涨姿势

长河网 • 2019-01-23 00:41:36 • 文化 • 阅读 6
图 | 一米 “飞雪连天射白鹿，笑书神侠倚碧鸳”金庸先生一生总共写了15本武侠小说，他是武侠小说的一代宗师，对诸子百家、佛经道藏、诗词歌赋、医卜星象等等都了然于胸，其作品也被认为是中国文化的瑰宝。 除去这些，金庸小说中亦包含了浓厚的数学
原标题：原来金庸的武侠世界有这么多数学故事|涨姿势图|一米“飞雪连天射白鹿，笑书神侠倚碧鸳”金庸先生一生总共写了15本武侠小说，他是武侠小说的一代宗师，对诸子百家、佛经道藏、诗词歌赋、医卜星象等等都了然于胸，其作品也被认为是中国文化的瑰宝。除去这些，金庸小说中亦包含了浓厚的数学文化，如《连城诀》中，将宝藏隐藏在一串数字里；“九阴真经”“独孤九剑”“六脉神剑”这些绝世神功都含有数字9或者6；《射雕英雄传》，瑛姑研究的算术题……其实仔细研究，不难发现，数学和文学是相通的，而里面蕴涵的信息之精妙。现在，我们以《射雕英雄传》瑛姑算算术这一小说情节为例，一起来探讨下，古人是如何算算数的。◑案例一：古人是如何开平方的在《射雕英雄传》之中就有这么一段情节：黄蓉坐了片刻，精神稍复，见地下那些竹片都是长约四寸，阔约二分，知是计数用的算子。再看那些算子排成商、实、法、借算四行，暗点算子数目，知她正在计算五万五千二百二十五的平方根，这时“商”位上已记算到二百三十，但见那老妇拨弄算子，正待算那第三位数字。黄蓉脱口道：“五！二百三十五！”那老妇吃了一惊，抬起头来，一双眸子精光闪闪，向黄蓉怒目而视，随即又低头拨弄算子。这一抬头，郭、黄二人见她容色清丽，不过四十左右年纪，想是思虑过度，是以鬓边早见华发。那女子搬弄了一会，果然算出是“五”，抬头又向黄蓉望了一眼，脸上惊讶的神色迅即消去，又见怒容，似乎是说：“原来是个小姑娘。你不过凑巧猜中，何足为奇？别在这里打扰我的正事。”顺手将“二百三十五”五字记在纸上，又计下一道算题。这段故事当中，郭靖与黄蓉被铁掌派追杀，郭、黄二人无意中闯到瑛姑的小屋中，正巧撞见瑛姑正在算这样一道开平方的问题。那么小说当中，宋朝人用来计算平方根的方法是什么呢？我们今天就来介绍一下。增乘开方法小说中所提到的这种计算平方根的方法叫做增乘开方法，是由我国古代数学家贾宪在十一世纪中叶所提出来的，其方法与意大利数学家鲁裴尼（P.Ruffini）和英国数学家霍纳（W.G.Horner）所提出来的高次方程数值解法相同，但比他们早了750年。那么增乘开方法是如何来计算一个数的平方根的呢？举个例子我们就以小说中瑛姑所计算的求55,225的平方根这个问题为例（为了便于理解我们就直接用阿拉伯数字来表示，就不用算筹啦。首先我们把55,225放入实这一行。1.由于55,225是一个五位数，因此我们估算商应当是一个三位数，并且由于万位上的数是5，所以估计商的百位数是2（200的平方是40,000，而300的平方是90,000，所以商的百位数一定是2）。2.令借为1，法的值则为借乘商（1×2）。3.更新实，使之为原实减去商乘法（5-2×2=1），则新实为1。4.更新法为商乘借加到旧法上（2+2×1=4）。5.将法后移一位，借后移两位。然后我们再次重复1-5的循环；1.估算商的十位为3（3×4,000=12,000＜15,225）。2.更新法，为原法加十位商乘借（4,000+3×100=4,300）。3.更新实，使之为原实减去商乘法（15,225-4,300×3=2,325），则新实为2325。4.更新法为商乘借加到旧法上（43+3×1=46）。5.将法后移一位，借后移两位。第二轮结束，第三轮开始，再一次重复这五个步骤。1.估算商的个位为5。2.更新法，为原法加个位商乘借（460+5×1=465）。3.更新实，使之为原实减去商乘法（2325-465×5=0）。到这一步我们惊喜的发现，实的值为0了，也就是说我们最后解出来了55,225的平方根为235。我们可以再验证一下，计算235的平方。发现235的平方果然是55,225，也就是说我们的计算结果是正确的。增乘开方法的步骤总结一下，增乘开方法其实一共五个步骤：估算商；用商乘借加到法上；实减去商乘法；再用商乘借加到法上；法后移一位，借后移两位。然后只要不断地循环上述步骤，直到实为0，此时的商就是我们所求的平方根的值啦。虽然步骤比较抽象，但是对照着例子还是比较容易理解的。◑案例二：如何用增乘开方法开更高次方案例一我们说到，郭靖黄蓉二人误打误撞来到了瑛姑的小屋，看到她正在计算一道开平方的问题，我们继续来看小说后面的案例二：这次是求三千四百零一万二千二百二十四的立方根，她刚将算子排为商、实、方法、廉法、隅、下法六行，算到一个“三”，黄蓉轻轻道：“三百二十四。”那女子“哼”了一声，哪里肯信？布算良久，约一盏茶时分，方始算出，果然是三百二十四。接下来瑛姑又计算了一道开立方的问题，那么如何来开一个数的立方根呢？其实之前我们所讲的增乘开方法，不只能用来开平方根，还能用来开立方以及更高次方的根。我们接着介绍一下如何用增乘开方法开更高次的平方。小说中的bug书中所写故事的时代背景是写到成吉思汗去世为止，成吉思汗死于公元1227年，而关于贾宪的增乘开方法的提出时间，所能找到的最早的记载是杨辉的《详解九章算法纂类》，该书写于1261年。也就是说，瑛姑所用的开平方的方法，如果按照时间关系上来看，所用的应该是时间更早的《九章算术》中的开平方的方法；但如果根据书中所写的瑛姑把算筹摆成“商、实、法、借”四行的话，就应该用的是贾宪的增乘开方法了。而瑛姑所用的开立方的方法，将算子摆为六行，又是《九章算术》的方法了，用增乘开方法的话只需要摆成五行就够了。增乘开方法是贾宪在《九章算术》中开方的方法的基础上，对传统方法进行改进，并推广到了开更高次方的情况，因此，我们还是主要来介绍增乘开方法。先复个习我们先来复习一下，之前所讲的增乘开方法的五个步骤：估算商；用商乘借加到法上；实减去商乘法；再用商乘借加到法上；法后移一位，借后移两位。只要不断循环这五个步骤，直到实变为0，所得到的商就是我们的结果啦。开平方与开立方的方法是类似的，我们介绍完开立方的方法之后，再经过类比，推广出开任意次方的方法。举个例子接下来我们还是以小说中的这道题为例来计算，为了便于理解，我把每一步计算所变化的数框了起来~先将被开方数放到实的位置上，并将1置于下法。将下法的1每次向前移动两格，共移动了三次，说明商应当是一个三位数。接下来正式开始计算啦~1.估算商的值为3（3的三次方为27，小于34）。2.用商乘下法置于廉（3×1=3），再用商乘廉置于方（3×3=9）。3.实减去商乘方（34-3×9=7）。4.商乘下法加到廉（3×1+3=6），商乘廉加到方（9+3×6=27）。再用商乘下法加到廉（3×1+6=9）。5.将方、廉、下法一次向后退1、2、3格。然后我们就可以开始下一个循环啦。1.估计商的十位为2。2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方。3.实减去商乘方。4.商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉。5.将方、廉、下法一次向后退1、2、3格。第二个循环结束，开始第三遍啦~1.估计商的个位为4。2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方。3.实减去商乘方。我们惊喜的发现，实变成了0，也就是说，我们所求的34,012,224的立方根就是324啦~开立方的步骤我们总结一下，开立方其实也是五个步骤：估算商；商乘下法加到廉，商乘廉加到方；实减去商乘方；商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉；将方、廉、下法一次向后退1、2、3格。和开平方的步骤一样，接下来只要不断地循环以上步骤，直到实为0，此时的商便是所求的根啦~推广到开任意次方的步骤我们先把开平方和开立方的步骤放到一起来对比一下。从这个表格中我们能够非常容易的找到规律，从而总结出用增乘开方法开任意正整数次方的方法。假设我们要求一个数的n次方（n为正整数），那么我们共需要写出n+2行，前两行分别是商和实，其余的n行我们用N1、N2、···、Nn来表示。将被开方数放入实这一行，在Nn上的最后一格放上一个1，将Nn上的1向左移动，每次移动n-1格，在下一次移动便会超出实的时候停止，此时1移动的次数便是商的位数。接下来，我们就可以开始进行五个步骤循环的计算啦~1.估算商。估计出一个商的第一位数的值，设它为a1，a1的n次方应当小于1上面的实的值，而a1+1的n次方是大于它的。2.依次从下到上填入数字，Nn中已经填入了1，接下来Nn-1=a1×1Nn-2=a1×Nn-1……N1=a1×N23.更新实。新的实=原实-N1×a14.更新从N1到Nn。第1轮：Nn-1=a1×1+Nn-1Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2……N1=a1×N2第2轮：Nn-1=a1×1+Nn-1Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2……N2=a1×N3如此不断循环下去，一直重复到第n-2轮，只剩下一步，Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2为止。5.将从N1到Nn上的数依次向后移动1、2、3、...n个格。接下来只要重复上述几个步骤，直至实变为0为止。如果是无法开出整数的情况的话，实便永远除不尽，便可以不断地重复上述步骤，得到后面无穷无尽的小数啦。向上滑动阅览【参考文献】[1]金庸.射雕英雄传[M].北京:生活·读书·新知三联书店,1994.[2]梅荣照.贾宪的增乘开方法——高次方程数值解的关键一步[J].自然科学史研究,1989,(01):：1-8.[3]李兆华.增乘开方法与贾宪三角形[J].中等数学,1986,(1)：44-45.赵志桐☆星教师数学和文学是相通的，而里面蕴涵的信息之精妙。来源︱道和老师教数学作者︱赵志桐（成都嘉祥外国语学校成华校区）转载自|星教师（ID：new_jiaoshi）责任编辑：

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