高中数学数形结合专题高中数学数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用

数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用图解法图解法是对数量关系进行适当的几何解释，把代数或三角问题转化为几何问题，在利用几何和函数的图像的知识实现代数、三角问题解决的方法。1、函数图像法通过引进函数，利用函数的图像实现几何解释的图解法，称函数图像法。例题1、若不等式数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题1图1的解集为（0,2），求实数a的值。解：设y1=√(4x-x^2)，其图像是圆心在（2,0），半径为2的上半圆，如下图所示：数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题1图（2）设y2=（a-1）x，它是过原点的直线系，当且仅当y2=（a-1）x经过点A（2,2）时才有：当x∈(0,2）时，y1＞y2，因而2=（a-1）·2，即a=2。例题2、若a＞0,b＞0,c＞(a+b)/2，求证：数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题2图（1）解题思路：待证不等式组最左端和最右端与一元二次方程的根的表达式接近，若把它们进行等价变形为根的表达式的形式数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题2图（2）问题转化为证明方程ax^2-2cx+b=0的两个根一个大于1，一个小于1。这可由讨论函数y=ax^2-2cx+b的性质得到。证明：令f(x)=ax^2-2cx+b因为a>0，所以函数的图像是开口向上的抛物线。∵c＞(a+b)/2>0,∴c^2>[(a+b)/2]^2≥ab,∴△=4c^2-4ab＞0。∵c＞(a+b)/2，∴2c＞a+b,∴a-2c+b这说明抛物线与x轴的左交点在点（1,0）的左侧，而右交点在点（1,0）的右侧，如下图所示：数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题2图（3）数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题2图（4）数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题2图（5）2、几何图形法通过构造精确定义上的几何图形的图解法叫几何图形法。例题3、若a＞0,b＞0,c＞0，求证：数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题3图（1）解题思路：考虑到a,b,c都是正数，且每个被开方式与余弦定理形式接近，利用余弦定理的几何解释，每个无理式都表示某三角形的一边，而由这三个三角形作基础可构成一个四面体，由这个四面体来证明这个不等式。证明：构造四面体OABC，使OA=a,OB=b,OC=c，∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，如下图所示：数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题3图（2）由余弦定理有：AB^2=a^2+b^2-2ab·cos60°=a^2+b^2-ab；BC^2=b^2+c^2-2bc·cos60°=b^2+c^2-bc;CA^2=a^2+c^2-2ac·cos60°=a^2+c^2-ac。在△ABC中，∵AB+BC>CA数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题3图（3）例题4、若α，β都是锐角，且sin(α+β)=2sinα，求证：α＜β。解题思路：由已知条件sin(α+β)=2sinα联想到正弦定理，可构造以α，β为内角的三角形。证明：因为α，β都是锐角，构造以α，β为内角的三角形ABC，如下图所示：数形结合思想之“图解法”在高中数学解题中的应用例题4图（1）∠B=α，∠C=β。∵sin∠A=sin(π-α-β）=sin(α+β)∴sin∠A=2sin∠B因此可设BC=2，AC=1∵AB>BC-AC=1∴α＜β

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