二阶等差数列「初中数学」探索规律——等差与二阶等差数列

初中常见的规律有符号规律，等差数列规律，二阶等差数列规律，等比数列规律、循环规律等。本文就等差数列规律，二阶等差数列规律展开研究。一、等差数列【定义】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。如：1，4，7，10，13，。。。后面的数始终比它前一项的数大3，这样的数列就是等差数列，其中3叫公差。【性质】小升初应当了解下列两条性质：①和=（首项+末项）×项数÷2；②项数=（末项-首项）÷公差+1；【规律求法】由于等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d，这里an代表第n个数，a1代表第1个数，d表示公差。所以从通项公式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，即等差数列具有kn+b的形式，这里K=公差，b=首项－公差。【例1】用菱形纸片按规律依次拼成如图所示的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第n个图案中的菱形纸片的张数为_________【分析】第一步：判断数列类型.由于后项比前项始终大4，该数列是等差数列第二步：计算k.因为每次增加4，即公差为4，所以k=4第三步：计算b.因为首项－公差=5－4=1，所以b=1第四步：写出规律.第n个数为4n+1【例2】观察下列两列数：7，10，13，16，19，22，…7，11，15，19，23，27，…（1）这两列数的第100个数分别是多少？（2）在这两列数中，第1个相同的数是7，第2个相同的数是19，第10个相同的数是多少？【分析（1）】第1列数:k=公差=3，b=首项-公差=7-3=4，故第n个数为3n+4，当n=100时，第100个数为304第2列数:k=公差=4，b=首项-公差=7-4=3，故第n个数为4n+3，当n=100时，第100个数为403【分析（2）】∵第1个相同的数为7，第2个相同的数为19，第3个相同的数为31，由于7，19，31成等差数列，即第m个相同的数为12m-5，当m=10时，第10个相同的数为115.二、二阶等差数列【定义】二阶等差数列是指后项与前项的差值是等差数列。例如：1，3，7，13，21，31，…，后项与前项的差值依次为：2，4，6，8，10，…，这些差值是等差数列，我们称数列1，3，7，13，21，31，…为二阶等差数列。【规律求法】二阶等差数列通项的一般形式为：An=an2+bn+c，类似于二次函数解析式求法，我们可用待定系数法求出其通项公式。【例1】(难度系数☆)已知一组数：1，3，7，13，21，31，…，根据规律求第100个数。【分析】第一步：设。设第n个数An=an2+bn+c第二步：代。分别把n=1,An=1，n=2,An=3，n=3,An=7代入到An=an2+bn+c中,得：第三步：求。②－①：3a+b=2④③－②：5a+b=4⑤⑤－④：2a=2,解得a=1,b=－1,c=1第四步：写。即第n个数为：n2－n+1,第100个数为9901【例2】(难度系数☆☆)观察下列等式，请写出第n个等式。第1个等式：32-1=8×1，第2个等式：52-1=24=8×3，第3个等式：72-1=48=8×6，第4个等式：92-1=80=8×10，…【分析】第一步：找变数与不变数。观察发现，等式左边的底数在变化，等式右边与8相乘的数在变化。第二步：左边底数依次为：3，5，7，9，…，显然是等差数列规律，其公差为2，首项减公差等于1，所以第n个底为为2n+1。第三步：右边与8相乘的数依次为1，3，6，10，…，后项与前项的差值依次为2，4，6，…，可判断出原数列为二阶等差数列。仿照例1的待定系数法，可求出第n个数为：总结：等差数列规律具有一次函数的一般形式，二阶等差数列具有二次函数的一般形式，凡是这样的数列，其通项公式均可以用待定系数法计算。有了近乎“死算”的方法，相信同学们面对它们时将不会再有拆数（猜数）的烦恼。等差数列有定法待定系数能搞定一阶一次函数挡二阶二次函数上

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