黎曼级数与解析延拓的证明&黎曼ζ(z)函数的椭圆级数积分式

长河网 • 2020-04-21 20:20:08 • 大课堂 • 阅读 0

展开全文一、部分定义表达式：（1）ReZ≥1：①ζ(z)=∑(n=1…∞)n-z.②π-z/2Γ(z/2)ζ(z)=∫(0,∞)xz/2-1θ(x)dx. 其中θ(x)=∑(n=1…∞)e-πxn^2 （2）0≤ReZ≤1：π-z/2

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一、部分定义表达式：

（1）ReZ≥1：

①ζ(z)=∑(n=1…∞)n^-z.

②π^-z/2Γ(z/2)ζ(z)=∫(0,∞)x^z/2-1θ(x)dx.其中θ(x)=∑(n=1…∞)e^-πxn^{^2}

（2）0≤ReZ≤1：

π^-z/2Γ(z/2)ζ(z)=∫(0,∞)x^z/2-1[θ(x)-(1/2)x^-1/2]dx

（3）ReZ≤0：

π^-z/2Γ(z/2)ζ(z)=∫(0,∞)x^z/2-1[θ(x)-(1/2)x^-1/2+1/2]dx

二、全定义表达式：

π^-z/2Γ(z/2)ζ(z)=1/[z(z-1)]+∫(1,∞)[x^z/2-1+x^(1-z)/2-1]θ(x)dx.

三、无穷乘积表达式：

w(z)=2(z-1)π^-z/2Γ(1+z/2)ζ(z)=Πρ(1-z /ρ)=w(1-z)

其中Πρ遍及ζ(z)的所有虚零点。

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