一、概念剖析

完全平方公式：

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

(a－b)2＝a2－2ab＋b2

文字叙述：

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍．

口诀：

首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号看前方．

解读：

1、公式左边为完全平方，右边为二次三项式．

2、右边有两项为两数的平方和，另一项是两数积的2倍，且与左边中间的符号相同．

3、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式．

4、(首±尾)2＝首2±2·首·尾＋尾2．

二、基本计算

例1：(－3m＋2n)2

分析：

本题中，首项为负，我们计算时，一般将其转化为正，利用互为相反数的偶次幂相等来转化，也可利用加法交换律．

解答：

原式＝(2n－3m)2

＝(3m－2n)2

＝(3m)2－2×3m·2n＋(2n)2

＝9m2－12mn＋4n2

变式：(－3m－2n)2

分析：

显然，本题只能用互为相反数的偶次幂相等来转化更快，且符号不易出错．

解答：

原式＝(3m＋2n)2

＝9m2＋12mn＋4n2

例2：(a＋b＋c)2

分析：

本题中是三项的和的平方，我们可以将其中两项作为一个整体，比如a＋b看作公式中的a，c看作公式中的b；也可以a看作公式中的a，b＋c看作公式中的b．

解答：

法1：

原式＝[(a＋b)＋c]2

＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2

＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2

法2：

原式＝[a＋(b＋c)]2

＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2

＝a2＋2ab＋2ac＋b2＋2bc＋c2

变式：(2a－b＋3c)2

分析：

显然，本题将2a－b看作整体更合适．

解答：

原式＝[(2a－b)＋3c]2

＝(2a－b) 2＋2(2a－b)·3c＋(3c)2

＝4a2－4ab＋b2＋12ac－6bc＋9c2

例3：1042

分析：

本题中，我们可以把104看成100＋4，则问题转化为用完全平方公式解决．

解答：

原式＝(100＋4)2

＝1002＋2×100×4＋42

＝10000＋800＋16

＝10816

变式：9.92

分析：

本题中，我们可以把9.9看成10－0.1．

解答：

原式＝(10－0. 1)2

＝102－2×10×0.1＋0.12

＝100－2＋0.01

＝98.01

三、技能提升

例1：在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的有，如能，写出化简的结果

(1) (－a＋2b)2 ( )

(2) (b＋2a)(b－2a) ( )

(3) (1＋a)(－a－1) ( )

(4) (－3ac＋b)(3ac－b) ( )

(5) (a2－b)(a＋b2) ( )

(6) ( 100－1)(100＋1) ( )

分析：

我们把(a＋b)2展开，即可写成(a＋b) (a＋b)，其中，第一个括号中的a，与第二个括号中的a相同，b也相同，可以称其为“两同”，是不是只有“两同”的情况可以用完全平方公式呢？

不止，如(a＋b)(－a－b)，a与－a，b与－b互为相反数，可以称其为“两反”，我们可以写成(a＋b)[－(a＋b)]，即－(a＋b)2，则“两反”的情况也可以用完全平方公式．

解答：

(1)可以，两同，转为(a－2b)2

(2)不可以，一同一反

(3)可以，两反，转为－(1－a)2

(4)可以，两反，转为－(3ac－b)2

(5)不可以，

(6)不可以，一同一反

例2：(6m2－5n)(5n－6m2)

分析：

显然，这是一个“两反”形式，所以可以用完全平方公式，注意前面需添负号．

解答：

原式＝－(6m2－5n)2

＝－(36m4－60m2n＋25n2)

＝－36m4＋60m2n－25n2

变式：(－2n＋m－3p)(2n－m＋3p)

分析：

类似例2，注意前面添负号，去括号时要变号．

解答：

原式＝－(2n－m＋3p)2

＝－[(2n－m)＋3p]2

＝－[(2n－m)2＋2(2n－m)·3p＋(3p)2]

＝－(4n2－4mn＋m2＋12np－6mp＋9p2)

＝－4n2＋4mn－m2－12np＋6mp－9p2

例3：

1022－204×2＋4

分析：

本题中，我们关注到整个多项式有3项，其中首项和尾项都是平方形式，可以想到是完全平方公式的展开形式，那么，我们可以逆用完全平方公式简算．

解答：

原式＝1022－2×102×2＋22

＝(102－2)2

＝10000

变式：化简求值，(m＋n)2－2(m－n)(m＋n)＋(n－m)2，其中m＝2019，n＝－2

分析：

本题中，我们不难发现，如将m＋n看作整体，2(m－n)(m＋n)看作中间项的2×首×尾，则尾项的底数换成m－n为整体，则整个式子又可看作是完全平方公式的展开形式，直接逆用完全平方公式简算．

解答：

原式＝(m＋n)2－2(m－n)(m＋n)＋(m－n)2

＝[(m＋n)－(m－n)]2

＝(2n)2＝4n2

当n＝2时，原式＝4×22＝16

四、知二推二问题

完全平方公式是初一阶段的一个重点，它可以考查配方，可以考查简便运算，而且又是与初三二次函数的基础．我们将完全平方公式进行解剖，可以得到四个重要的代数式，(a＋b)2，(a－b)2，ab，a2＋b2，而且，我们只要知道其中的两个，就能推出另外两个，即知二推二．值得一提的是，这些项的次数都是二次，如果给出的式子是(a＋b)，(a－b)，则需要先去平方，使之变为二次．

例1：已知(x－y)2＝3，(x＋y)2＝7，求xy，x2＋y2

分析：

本题可以直接运用知二推二的公式，两式相加÷2或两式相减÷4．

解答：

例2：已知a－b＝7，ab＝3，求(a＋b)2的值．

分析：

我们所说的“知二推二”，知道的都是二次项，而给出的a－b是一次项，因此，要想到先平方，变为二次．

解答：

(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab

＝72＋4×3＝61

变式：已知a－2b＝4，ab＝6，求a＋2b的值

分析：

与上例类似，我们要平方，但需要注意的是，两式子的结果相差了几ab，最后计算时，别忘了把二次降为一次，注意两解．

解答：

(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2

(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2

∴(a＋2b)2＝(a－2b)2＋8ab＝16＋48＝64

a＋2b＝±8

五、配方法综合运用

例1：若a、b满足 a2＋b2－4a＋6b＋13＝0，求代数式(a＋b)2019的值．

分析：

本题中，我们注意到等式左边有五项，其中有两项可以看作首平方，则－4a，6b可以看作2×首×尾，那自然想到把13拆成两个尾平方，这样的方法叫配方法．通常将其中一项(一个数)拆成两个完全平方项(数)，凑两个完全平方式，使之变成0＋0型．

解答：

a2＋b2－4a＋6b＋13

＝a2－4a＋4＋b2＋6b＋9

＝(a－2)2＋(b＋3)2

∴(a－2)2＋(b＋3)2＝0，a＝2，b＝－3，∴原式＝－1．

变式：若x、y满足x2＋4y2＝6x－16y－25，求代数式xy 的值．

分析：本题可以与例题一样如法炮制，但需要先移项．

解答：

由题意得，x2－6x＋4y2＋16y＋25＝0

x2－6x＋9＋4y2－16y＋16＝0

(x－3)2＋(2y＋4)2＝0

例2：4x2－kx＋81是完全平方式，求k．

分析：

本题中，－kx作为中间项，要注意是2首尾的形式，同时，不要忘了两解．

解答：

原式＝(2x±9)2

＝4x2±36x＋81

∴k＝±36

变式：16x2＋9添一项整式是共三项的完全平方式，求要添的项

分析：

要使多项式变为完全平方式，则必须为首2±2×首×尾＋尾2形式，那么，要添加的整式就可以放在首2，2×首×尾，尾2三个位置上，但是，要注意，添加的代数式是否为整式．

解答：

思考题：