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一、问题的提出： A=∫(0,∞)[1/(x+1)-1/(2x)]dx=? 二、若约定积分下限为(ε→+0)、积分上限为[(k/ε)→+∞](k为正常数)， 则得： A=(ε→+0)∫(ε,k/ε)[1/(x+1)-1/(2x)]dx=(1/2)lnk（不定型） 即约定系数不同，其收敛值也不同。 三、无穷积分的一般约定：k=1 即∫(0,∞)f(x)dx=(ε→+0)∫(ε,1/ε)f(x)dx（一类不定型广义定积分） 四、一个广义定积分的约定问题，还决定着该积分是否收敛。例如， B=∫(0,∞){1/(x+1)-n/[(n+1)x]}dx（n为正数） 只有约定积分下限为(ε→+0)、积分上限为[(k/εn)→+∞]，该积分才收敛： B=(ε→+0)∫(ε,k/εn){1/(x+1)-n/[(n+1)x]}dx=(lnk)/(n+1) 五、瑕积分的一般约定： （1）f(x)在[a,b]内有一瑕点c，则 ∫(a,b)f(x)dx=(ε→+0)[∫(a,c-ε)f(x)dx+∫(c+ε,b)f(x)dx]（二类不定型广义定积分） （2）若a、b为f(x)的两瑕点，则 ∫(a,b)f(x)dx=(ε→+0)∫(a+ε,b-ε)f(x)dx（三类不定型广义定积分） 六、A=∫(0,∞)[1/(x+1)-1/(2x)]dx =∫(0,1)[1/(x+1)-1/(2x)]dx+∫(1,∞)[1/(x+1)-1/(2x)]dx(倒元变换) =∫(0,1)[1/(x+1)-1/(2x)]dx-∫(0,1)[1/(x+1)-1/(2x)]dx =0 |
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