展开全文【题目】（14·金华）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF．①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP·AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．【答案】解：（1）①如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=∠BAC=60°,AB=AC，又∵AE=CF，∴△AFC≌△BEA(SAS)，∴AE=CF,∠1=∠3，∵∠4=∠2+∠3，∴∠4=∠2+∠1=∠BAC=60°,即∠APB=180°-∠4=120°.②∵∠C=∠4=60°，∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,∴AP\\AC=AE\\AF，即AP\\6=2\\AF，所以AP·AF=12.（2）若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.当AE=BF时，如图2，此时点P经过的路径是AB边上的高线CH.在Rt△AHC中，CH=√3\\2AC=3√3,∴此时点P经过的路径长为3√3.当AE=CF时，如图3，点P经过的路径是以A，B为端点的圆弧，且∠APB=120°,则圆心角∠AOB=120°，过点O作OG⊥AB,在Rt△AOG中，∠AOG=60°，OA=AG\\sin60°=2√3，∴l=nπr\\180=4√3π\\3.∴此时点P经过的路径长为4√3π\\3.所以，点P经过的路径长为3√3或4√3π\\3.如图4，当点E从A运动至C过程中，点F先向C运动至BC中点再返回时也满足情况AF=BE，此时点P的运动路径为2√3+2√3π\\3.图4如图5，当点E从A运动至C过程中，点F先向B运动至BC中点再返回时也满足情况AF=BE，此时点P的运动路径为√3+2√3π\\3.图5备注：当AE=CF时，必然有AF=BE，但是当AF=BE时就不一定有AE=CF，如上图所示，会分为两种情况。当点E从上往下运动时，点F的运动情况就是4种了，所以会产生各种问题。由于没有几何画板的电脑软件工具帮忙，很难想到有这么多种情况。一般解法就是想出两种，不信可以百度一下，到各大网站看看。比如菁优网和中考网。惭愧，一道题目做了三年，竟然没有做对登录cctalk参与直播课程哦：1.第1讲图形存在性问题一图串联二次函数有关的存在性问题2.第2讲面积问题一图串联中考数学压轴题面积问题3.第3讲最短路径问题一图串联最短路径问题4.第4讲角度相关问题一图串联角度有关问题（精选）5.第5讲运动路径问题周四20:30-21:306.第6讲几何证明及几何模型今天20:30-21:307.第7讲几何求值问题周六20:30-21:308.第8讲几何综合训练下周六20:30-21:30