s性质&Φ(s,a,z)的性质及开拓

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Φ(s,a,z)=∑(n=0…∞ )(n+a)^-szⁿ（0＜a≤1，|z|＜1）

（一）|z|＜1：Φ(s,a,z)绝对收敛。

（二）|z|=1的情况：

1、|z|=1且z≠1：

（1）ReS＞1：Φ(s,a,z)绝对收敛。

（2）0＜ReS≤1：Φ(s,a,z)条件收敛。

（3）ReS≤0：Φ(s,a,z)广义收敛。【常义解析开拓问题】

2、z=1：

（1）ReS＞1：Φ(s,a,1)绝对收敛，Φ(s,a,1)=ζ(s,a)。

（2）ReS≤1：Φ(s,a,1)发散。【解析开拓问题】

（3）ReS≤1时ζ(s,1)=ζ(s)的解析开拓：

ζ(s)=Φ(s,1,-1)/(1-2^1-s)

（4）ReS≤1时ζ(s,1/2)的解析开拓：

ζ(s,1/2)=(2^s-1)ζ(s)

（5）ζ(1,a)的解析开拓：ζ(1,z)=ψ(z)【普西函数】

（6）ζ(n,a)的解析开拓：【n普函数：多普函数】

（三）|z|＞1：Φ(s,a,z)发散。【解析开拓问题】

———以Φ(z)为例：

（1）|z|＜1：Φ(z)=Φ(0,a,z)=∑(n=0…∞ )zⁿ=1/(1-z)

（2）|z|≥1：Φ(z)=Φ(0,a,z)=1/(1-z)（解析开拓）

（四）Φ(s,z)=Φ(s,1,z)，η(s,a)=Φ(s,a,-1)，η(s)=η(s,1).

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